问题 4807 --传统艺能

4807: 传统艺能

题目描述

  Bob 喜欢线段树。

众所周知,ZJOI 的第二题有很多线段树。

Bob 有一棵根为 $[1, n]$ 的广义线段树。Bob 需要在这个线段树上执行 $k$ 次区间懒标记操作,每次操作会等概率地从 $[1, n]$ 的所有 $\dfrac{n(n+1)}{2}$  个子区间中随机选择一个。对于所有在该次操作中被访问到的非叶子节点,Bob 会将这个点上的标记下推;而对于所有叶子节点(即没有继续递归的节点),Bob 会给这个点打上标记。

Bob 想知道,$k$ 次操作之后,有标记的节点的期望数量是多少。

【具体定义】

线段树:线段树是一棵每个节点上都记录了一个线段的二叉树。根节点记录的线段是 $[1, n]$。对于每个节点,若它记录的线段是 $[l, r]$ 且 $l \neq r$,取 $m = \lfloor \dfrac{l+r}{2} \rfloor$,则它的左右儿子节点记录的线段分别是 $[l, m]$ 和 $[m + 1, r]$;若 $l = r$,则它是叶子节点。

广义线段树:在广义的线段树中,$m$ 不要求恰好等于区间的中点,但是 $m$ 还是必须满足 $l \leq m < r$ 的。不难发现在广义的线段树中,树的深度可以达到 $O(n)$ 级别。

线段树的核心是懒标记,下面是一个带懒标记的广义线段树的伪代码,其中 `tag` 数组为懒标记:

注意,在处理叶子节点时,一旦他获得了一个标记,那么这个标记会一直存在。

你也可以这么理解题意:有一棵广义线段树,每个节点有一个 $m$  值。一开始 `tag` 数组均为 $0$ ,Bob 会执行 $k$  次操作,每次操作等概率随机选择区间 $[l, r]$  并执行 `MODIFY(root,1,n,l,r)`;。 最后所有 `Node` 中满足 `tag[Node]=1` 的期望数量就是需要求的值。

输入

第一行输入两个整数 $n, k$。
接下来输入一行包含 $n - 1$ 个整数 $a_i$ :按照先序遍历的顺序,给出广义线段树上所有非叶子节点的划分位置 mm。你也可以理解为从只有 $[1, n]$ 根节点开始,每次读入一个整数后,就将当前包含这个整数的节点做一次拆分,最后获得一棵有 $2n - 1$ 个节点的广义线段树。
保证给定的 $n - 1$个整数是一个排列,不难发现通过这些信息就能唯一确定一棵 $[1, n]$ 上的广义线段树。

输出

输出一行一个整数,代表期望数量对 $p = 998244353$ 取模后的结果。即,如果期望数量的最简分数表示为 $\dfrac{a}{b}$ ,你需要输出一个整数 $c$ 满足 $c \times b \equiv a \pmod p$。

样例输入输出

输入#1 复制
3 1
1 2
输出#1 复制
166374060
输入#2 复制
5 4
2 1 3 4
输出#2 复制
320443836

提示

样例解释 1
输入的线段树为 $[1,3],[1,1],[2,3],[2,2],[3,3]$。
若操作为 $[1,1]/[2,2]/[3,3]/[2,3]/[1,3]$,标记个数为 $1$。若操作为 $[1,2]$,标记个数为 $2$。故答案为 $\dfrac{7}{6}$。


对于 $100\%$ 的数据,$1 \leq n \leq 200000, 1 \leq k \leq 10^9$。

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